ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป ตอนที่ 26..คอนตินิวอัมอวกาศ

ตอนนี้เราอยู่ในฐานะที่จะกำหนดความคิดของมินคอฟสกีอย่างถูกต้องมากขึ้น ซึ่งได้พูดอย่างคร่าว ๆ นิดหน่อยเท่านั้นในตอนที่ 17 ตามทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษมีการให้สิทธิพิเศษกับระบบพิกัดพิกัดบางระบบ สำหรับการอธิบายเกี่ยวกับคอนตินิวอัมอวกาศ - เวลาสี่ - มิติ เราเรียกสิ่งนี้ว่า “ระบบพิกัดระบบกาลิเลอี” สำหรับระบบเหล่านี้สี่พิกัด x , y, ,z , t ซึ่งกำหนดเหตุการณ์หรือ - พูดอีกอย่างหนึ่งก็คือ จุดของคอนตินิวอัมสี่ -มิติ ถูกกำหนดในเชิงฟิสิกส์ด้วยวิธีง่าย ๆ ตามที่ได้นำเสนอในรายละเอียดในภาคแรกของหนังสือเล่มนี้ สำหรับการเปลี่ยนแปลงจากระบบแบบกาลิเลอีระบบหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่ง ซึ่งกำลังเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมออ้างอิงกับระบบแรก สมการของการแปลงแบบโลเร็นตซ์ถูกต้อง พวกสุดท้ายนี้ประกอบกันเป็นพื้นฐานสำหรับการได้มาของการนิรนัย จากทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษและโดยเนื้อแท้แล้ว มันไม่มีอะไรมากไปกว่านิพจน์ของความถูกต้องสากลของกฎของการส่งผ่านของแสงสำหรับระบบอ้างอิงระบบกาลิเลอีทั้งมวล




มินคอฟสกีได้พบว่าการแปลงแบบโลเร็นตซ์มีคุณสมบัติตรงตามเงื่อนไขง่าย ๆ ดังต่อไปนี้ เราลองพิจารณาเหตุการณ์ที่เกิดใกล้เคียงกันสองเหตุการณ์ซึ่งในคอนตินิวอัมสี่ - มิติ ผลต่างพิกัดอวกาศ dx , dy , dz และ ผลต่าง - เวลา dt ให้ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเหตุการณ์เทียบกับตัววัตถุอ้างอิงระบบกาลิเลอี K อ้างอิงกับระบบแบบกาลิเลอีที่สอง เราจะสมมติว่าผลต่างที่สอดคล้องกันสำหรับสองเหตุการณ์นี้ คือ dx’ , dy’ ,dz’ dt’ ดังนั้นขนาดเหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไข1นี้เสมอ



dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 = dx’2 + dy’2 + dz’2 - c2dt’2



ความถูกต้องของการแปลงแบบโลเร็นตซ์เป็นผลจากเงื่อนไขนี้ เราอาจแสดงสิ่งนี้ได้ดังต่อไปนี้ : ขนาด



ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2



ซึ่งเป็นของจุดที่ใกล้กันสองจุดของคอนตินิวอัมอวกาศ - เวลาสี่ - มิติ ที่มีค่าเดียวกันสำหรับตัววัตถุอ้างอิง (ระบบกาลิเลอี) ที่เราเลือกทั้งหมด ถ้าเราแทน x , y , z , โดย x1 , x2 , x3 , x4 เราได้ผลลัพธ์ว่า



ds2 = dx12 + dx22 + dx32 + dx42



ที่เป็นอิสระไม่เกี่ยวข้องกับการเลือกตัววัตถุอ้างอิงด้วย เราเรียกขนาด ds ว่า “ระยะทาง” ที่อยู่ห่างกันของสองเหตุการณ์หรือสองจุดเชิงสี่ - มิติ



ดังนั้นถ้าเราเลือกตัวแปร - จินตภาพ เป็นตัวแปร - เวลา แทนที่จะเป็นปริมาณจริง t เราอาจมองว่าคอนตินิวอัมอวกาศ - เวลา - ตามทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ - เป็น คอนตินิวอัมสี่ - มิติ “ระบบยุคลิด” ได้ผลลัพธ์ซึ่งเป็นผลจากการพิจารณาของตอนก่อนหน้านี้







1 โปรดดูภาคผนวก 1 และ 2 ความสัมพันธ์ซึ่งได้มาตรงนั้นสำหรับพิกัดนั้น

ถูกต้องด้วยสำหรับผลต่างเชิงพิกัดและจึงสำหรับผลต่างอนุพัทธ์เชิงพิกัด

(ผลต่างที่น้อยอย่างไม่จำกัด) ด้วย