บทความ
ตอนนี้เราลองนึกภาพว่าไม้วัดอันเล็ก ๆ จำนวนมากมายที่มีความยาวเท่ากันถูกทำขึ้นความยาวของมันน้อย เมื่อเทียบกับมิติของแผ่นหินอ่อน เมื่อฉันพูดว่ามันมีความยาวเท่ากัน ฉันหมายความว่าเราสามารถวางอันหนึ่งบนอันอื่น ๆ ได้ โดยปลายไม่มีการเหลื่อมกัน ต่อไปเราวางไม้วัดขนาดเล็ก ๆ เหล่านี้สี่อันบนแผ่นหินอ่อน ดังนั้นมันประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมแบบต่าง ๆ (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ซึ่งเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน เพื่อให้แน่ใจว่าเส้นทแยงมุมเท่ากัน เราใช้ไม้วัด - ทดสอบขนาดเล็กให้เป็นประโยชน์ เราเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่คล้ายกันลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ ซึ่งแต่ละสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีไม้วัดอันหนึ่งร่วมกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสอันแรก
ถ้าทุกสิ่งทุกอย่างดำเนินไปอย่างราบรื่นจริง ๆ ดังนั้นฉันพูดว่า จุดต่าง ๆ ของแผ่นหินอ่อนประกอบกันขึ้นเป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิด เทียบกับไม้วัดขนาดเล็ก ซึ่งถูกใช้เป็น “ระยะทาง” (ช่วง -เส้น) โดยการเลือกมุมหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น “จุดกำเนิด” ฉันอาจระบุมุมอื่น ๆ ทุกมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอ้างอิงกับจุดกำเนิดนี้ได้โดยจำนวนสองจำนวน ฉันเพียงจำเป็นต้องระบุว่า ไม้วัดกี่อันที่ฉันจะต้องข้ามผ่านไปเท่านั้น เมื่อเริ่มต้นจากจุดกำเนิด ฉันทำต่อไปในทาง “ขวา” แล้วจึง “ขึ้นข้างบน” เพื่อให้ไปถึงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำลังพิจารณาอยู่ ดังนั้นจำนวนสองจำนวนนี้เป็น “พิกัดคาร์ทีเซียน” ของมุมนี้ที่อ้างอิงกับ “ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน” ซึ่งถูกกำหนดโดยการจัดของไม้วัดขนาดเล็ก
โดยการใช้ประโยชน์จากการปรับแปลงดังต่อไปนี้ของการทดลองที่มีลักษณะเป็นนามธรรม เรายอมรับว่าจะต้องมีกรณีซึ่งการทดลองจะไม่ประสบความสำเร็จด้วย เราจะสมมติว่าไม้วัด “ขยายตัว” เป็นปริมาณที่เป็นสัดส่วนกับการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิ เราทำให้ส่วนที่อยู่ตรงกลางของแผ่นหินอ่อนร้อน แต่ไม่ใช่ส่วนของกรณีซึ่งไม้วัดขนาดเล็กของเราสองอันอาจยังคงทับกันสนิทอยู่ ที่ทุกๆ ตำแหน่งบนโต๊ะ แต่การก่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเราจะต้องจำเป็นต้องเกิดผลเป็นความยุ่งเหยิง ในระหว่างการทำให้ร้อนเพราะว่าไม้วัดขนาดเล็กที่อยู่บริเวณตรงกลางของโต๊ะขยายตัว ส่วนบริเวณที่อยู่ส่วนรอบนอกไม่ขยายตัว
อ้างอิงกับไม้วัดขนาดเล็กของเรา - ที่ถูกกำหนดเป็นความยาวหนึ่งหน่วย - โต๊ะหินอ่อน ไม่ได้เป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิดอีกต่อไป และเราไม่ได้อยู่ในฐานะที่จะกำหนดพิกัดคาร์ทีเซียน โดยตรง ด้วยความช่วยเหลือของมันอีกต่อไปด้วย เนื่องจากเราไม่อาจดำเนินการก่อสร้างตามที่กล่าวมาข้างต้นได้อีกต่อไป แต่เนื่องจากมีสิ่งอื่น ๆ ซึ่งอุณหภูมิของโต๊ะไม่ได้มีอิทธิพลด้วยวิธีการที่คล้ายกันกับไม้วัดขนาดเล็ก (หรือบางทีไม่ใช่เลย) มันเป็นไปได้มากโดยธรรมชาติที่จะรักษาทรรศนะที่ว่า แผ่นหินอ่อนเป็น “คอนตินิวอัมระบบยุคลิด” ไว้ เราอาจทำสิ่งนี้ได้ด้วยวิธีการที่น่าพอใจโดยการสร้างเงื่อนไขที่ละเอียดมากขึ้นเกี่ยวกับการวัดหรือการเปรียบเทียบความยาว
แต่ถ้าไม้วัดทุกประเภท (นั้นคือวัสดุทุกประเภท) จะต้องประพฤติตัวในลักษณะเดียวกัน ในเรื่องอิทธิพลของอุณหภูมิเมื่อมันอยู่บนแผ่นหินอ่อนที่ถูกทำให้ร้อนอย่าง ไม่คงที่และถ้าเราไม่มีวิธีการตรวจจับผลกระทบของอุณหภูมิอย่างอื่นนอกจาก พฤติกรรมเชิงเรขาคณิตของไม้วัดของเรา ในการทดลองที่คล้ายกับการทดลองที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้นแผนที่ดีที่สุดของเราจะคือการกำหนดระยะทาง อันหนึ่งกับจุดสองจุดที่อยู่บนแผ่นหินอ่อน ถ้าเราสามารถทำให้ปลายของไม้วัดของเราอันหนึ่งทับกันสนิทกับจุดสองจุดนี้ได้; เราควรจะกำหนดระยะทางนี้โดยไม่มีกระบวนการของเราที่อยู่ในระดับที่สูงที่สุดที่ไม่เจาะจงอย่างเห็นได้ชัดอย่างไรอีก? ดังนั้นวิธีการของพิกัดคาร์ทีเซียนจะต้องถูกทิ้งไปและถูกแทนโดยอีกวิธีการหนึ่ง ซึ่งไม่ได้สมมติความถูกต้องของเรขาคณิตระบบยุคลิด สำหรับตัววัตถุแข็งเกร็ง1 ผู้อ่านจะสังเกตเห็นว่าสถานการณ์ที่แสดงให้เห็นในทีนี้สอดคล้องกับสถานการณ์ที่สัจพจน์ของสัมพัทธภาพชนิดทั่วไปทำให้เกิดขึ้น (ตอนที่ 23)
1 นักคณิตศาสตร์ต้องเผชิญหน้ากับ ปัญหาของเราในรูปแบบดังต่อไปนี้
ถ้าเรามีพื้นผิว (เช่น วัตถุทรงรี) อยู่ในอวกาศสาม - มิติระบบยุคลิด
ดังนั้นมีเรขาคณิตสอง - มิติสำหรับพื้นผิวนี้อยู่จริงที่มากเท่าที่จะมาก
ได้สำหรับพื้นผิวระนาบ เกาส์ให้เข้ารับผิดชอบงานเกี่ยวกับการปกิบัติ
ต่อเรขาคณิตสองมิตินี้จากหลักการแรก โดยไม่ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริง
ที่ว่าพื้นผิวเป็นของคอนตินิวอัมระบบยุคลิดของสามมิติ ถ้าเรานึกภาพว่าทำ
การก่อสร้างด้วยไม้วัดแข็งเกร็งในพื้นผิว (คล้ายกับการก่อสร้างที่กล่าวไว้
ข้างต้นด้วยแผ่นหินอ่อน) เราควรจะพบว่า กฎที่ต่างกันถูกต้องสำหรับสิ่งเหล่านี้
จากสิ่งเหล่านั้นที่เกิดขึ้นบนพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงระนาบในระบบยุคลิด
พื้นผิวไม่ได้เป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิดเทียบกับไม้วัด และเราไม่อาจกำหนด
พิกัดคาร์ทีเซียนในพื้นผิวได้ เกาส์ได้ชี้ให้เห็นหลักการตามที่ซึ่งเราสามารถปฏิบัติ
ต่อความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิตในพื้นผิว และจึงชี้ให้เห็นเส้นทางไปสู่วิธีการ
ของรีมันน์เกี่ยวกับการปฏิบัติต่อ คอนตินิวอัมนอกระบบยุคลิดหลาย - มิติ
จึงเป็นว่านักคณิตศาสตร์เมื่อนานมาแล้วแก้ปัญหาที่เป็นทางการ ซึ่งสัจพจน์
ของสัมพัทธภาพชนิดทั่วไปนำเราไป
0 ความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น