ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป

แต่การคาดเดาเกี่ยวกับโครงสร้างของเอกภพเคลื่อนไปในอีกทิศทางหนึ่งโดยสิ้นเชิงด้วย การพัฒนาของเรขาคณิตนอกระบบยุคลิดได้นำไปสู่การยอมรับข้อเท็จจริงที่ว่า เราอาจสงสัยในการไม่มีขอบเขตของอวกาศของเราได้โดยไม่เกิดการต่อสู้กับกฎของความคิดหรือกับประสบการณ์ (รีมันน์, เฮมโฮลตซ์) คำถามเหล่านี้ได้รับการกล่าวถึงในรายละเอียดแล้ว และด้วยความชัดเจนไม่มีใครเกินโดยเฮมโฮลตซ์ และปวงกาเร ส่วนฉันจะกล่าวถึงมันอย่างย่อๆ เท่านั้นในที่นี้








อันดับแรก เรานึกภาพการดำเนินชีวิตในอวกาศสอง - มิติ สิ่งมีชีวิตแบนๆ พร้อมกับเครื่องมือแบนๆ และโดยเฉพาะไม้วัดแข็งเกร็งแบนๆ ที่มีอิสระที่จะเคลื่อนที่ไปในระนาบ สำหรับเขาไม่มีอะไรมีอยู่จริงเลยภายนอกระนาบนี้ : ระนาบซึ่งเขาสังเกตเห็นว่าเกิดขึ้นกับตัวพวกเขาเอง และกับสิ่งของที่แบนของเขา เป็นความเป็นจริงที่รวมทุกอย่างทั้งหมดเกี่ยวกับระนาบของเขา โดยเฉพาะการก่อสร้างเรขาคณิตระบบยุคลิดเชิงระนาบอาจถูกนำไปปฏิบัติโดยการใช้ไม้วัดได้ เช่นการก่อสร้างโครงที่เป็นตารางที่ได้พิจารณาไปในตอนที่ 24 แตกต่างกับของเรา เอกภพของสิ่งมีชีวิตเหล่านี้เป็นสองมิติ ; แต่ที่คล้ายๆ ของเราคือมันทอดยาวไปถึงอนันต์ ในเอกภพของพวกเขา มีที่ว่างสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหมือนกันทุกประการจำนวนมากมายมหาศาล ที่ประกอบขึ้นด้วยไม้วัด นั่นคือ ปริมาตร(พื้นผิว)ของมันไม่มีขอบเขต ถ้าสิ่งมีชีวิตเหล่านั้นพูดว่า เอกภพของพวกเขาเป็น “ระนาบ” มีความหมายในคำกล่าวนี้ เพราะว่ามันหมายความว่า เขาอาจทำการก่อสร้างเรขาคณิตระบบยุคลิดเชิงระนาบด้วยไม้วัดของพวกเขาได้ ในเรื่องนี้ไม้วัดแต่ละอันใช้แทนระยะทางเดียวกันเสมอซึ่งไม่ขึ้นกับตำแหน่งของเขา



ตอนนี้เราลองพิจารณาการดำเนินชีวิตแบบสอง - มิติ แบบที่สอง แต่คราวนี้บนพื้นผิวเชิงทรงกลมแทนที่จะเป็นบนระนาบ สิ่งมีชีวิตที่แบนๆพร้อมกับไม้วัดของเขา และวัตถุอื่น ๆ เข้ากันพอดีกับพื้นผิวนี้ และเขาไม่สามารถที่จะออกจากมันได้ เอกภพของการสังเกตทั้งหมดของเขาทอดยาวไปเหนือพื้นผิวของทรงกลมโดยเฉพาะ สิ่งมีชีวิตเหล่านี้สามารถที่จะมองว่าเรขาคณิตของเอกภพของเขาเป็น เรขาคณิตเชิงระนาบและยิ่งไปกว่านั้นไม้วัดของเขาเป็นการทำให้ “ระยะทาง” เป็นจริงหรือไม่? เขาไม่อาจทำสิ่งนี้ได้ เนื่องจากถ้าเขาพยายามที่จะทำให้เส้นตรงเป็นจริง เขาจะได้เส้นโค้งซึ่งเรา “สิ่งมีชีวิตสาม-มิติ” ระบุว่าเป็นวงกลมขนาดใหญ่นั่นคือเส้นที่บริบูรณ์ในตัวเอง ที่มีความยาวที่มีขอบเขตจำกัดที่ชัดเจนแน่นอน ซึ่งเราอาจวัดขนาดได้โดยการใช้ไม้วัด ในทำนองเดียวกัน เอกภพนี้มีพื้นที่ที่มีขอบเขตจำกัดที่อาจเทียบได้กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกสร้างด้วยไม้วัดได้ เสน่ห์ที่แรงที่เป็นผลจากการพิจารณานี้อยู่ที่การยอมรับข้อเท็จจริงที่ว่า เอกภพของสิ่งมีชีวิตนี้ มีขอบเขตจำกัดและแต่ขณะเดียวกันไม่มีขอบเขต



แต่สิ่งมีชีวิตเชิงพื้นผิว - ทรงกลม ไม่จำเป็นต้องทำการเดินทางรอบโลกต่อไปเพื่อที่จะเข้าใจว่า เขาไม่ได้กำลังอาศัยอยู่ในเอกภพระบบยุคลิด เขาอาจทำให้ตัวเขาเองเชื่อในสิ่งนี้ บนทุกๆ ส่วนของ “โลก” ของเขา ถ้าเขาไม่ได้ใช้ชิ้นที่มีขนาดเล็กเกินไปของมัน เริ่มต้นจากจุด ๆ หนึ่ง เขาเขียน “เส้นตรง” (ส่วนโค้งของวงกลม เมื่อพิจารณาจากอวกาศสาม - มิติ) ที่มีความยาวเท่ากันในทุกทิศทาง เขาจะเรียกเส้นที่เชื่อมปลายที่เป็นอิสระของเส้นเหล่านี้ว่า “วงกลม” สำหรับพื้นผิวเชิงระนาบอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลม กับเส้นผ่าศูนย์กลางของมัน ที่ความยาวทั้งสองถูกวัดด้วยไม้วัดอันเดียวกัน ที่ตามเรขาคณิตระบบยุคลิดของระนาบเท่ากับค่าคงตัว ซึ่งเป็นอิสระไม่เกี่ยวข้องกับเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม บนพื้นผิวเชิงทรงกลมของเขา สิ่งมีชีวิตแบนๆ ของเราจะหาอัตราส่วนนี้ได้ค่า

นั่นคือค่าที่น้อยกว่า ความแตกต่างจะยิ่งมาก ถ้ารัศมีของวงกลมยิ่งมาก เมื่อเปรียบเทียบกับรัศมี R ของ “โลก - ทรงกลม” โดยการใช้ความสัมพันธ์นี้ สิ่งมีชีวิตเชิงทรงกลมอาจกำหนดรัศมีของเอกภพ (“โลก”) ของเขาได้แม้แต่เมื่อหาได้เพียงส่วนที่ค่อนข้างเล็กของโลก - ทรงกลมของเขาเท่านั้นสำหรับการวัดของเขา แต่ถ้าส่วนนี้เล็กมากจริงๆ มันจะไม่สามารถแสดงให้เห็นได้อีกต่อไปว่า เขาอยู่บน “โลก” เชิงทรงกลมและไม่ได้อยู่บนระนาบระบบยุคลิด เนื่องจากส่วนที่เล็กของพื้นผิวเชิงทรงกลมต่างจากชิ้นหนึ่งของระนาบที่มีขนาดเดียวกันเล็กน้อยเท่านั้น

ดังนั้นถ้าสิ่งมีชีวิตเชิงพื้นผิว - เชิงทรงกลมกำลังอาศัยอยู่บนดาวเคราะห์ ซึ่งระบบสุริยะกินเนื้อที่เป็นส่วนที่เล็กมากจนตัดออกไปได้ของเอกภพเชิงทรงกลมเท่านั้น เขาไม่มีวิธีการที่จะกำหนดว่าเขากำลังอาศัยอยู่ในเอกภพที่มีขอบเขตจำกัดหรือที่ไม่มีขอบเขต เพราะว่า “ชิ้นของเอกภพ” ซึ่งเขาเข้าถึงในทั้งสองกรณีเกือบเป็นระนาบหรือระบบยุคลิด มันเป็นผลโดยตรงจากการอภิปรายนี้ว่า สำหรับสิ่งมีชีวิต - ทรงกลมของเรา เส้นรอบวงของวงกลม ตอนแรกเพิ่มขึ้นไปกับรัศมีจนกระทั่งไปถึง “เส้นรอบวงของเอกภพ” และจากนั้นเป็นต้นมามันก็ยังค่อยๆ ลดลงสู่ศูนย์สำหรับค่าที่เพิ่มขึ้นมากขึ้นไปอีกของรัศมีอีกด้วย ในระหว่างกระบวนการนี้พื้นที่ของวงกลมเพิ่มขึ้นต่อไปมากขึ้นเรื่อยๆ จนกระทั่งในที่สุด มันกลายเป็นเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดของ “โลก - ทรงกลม” ทั้งหมด

บางทีผู้อ่านอาจจะอยากรู้ว่าทำไม เราวาง “สิ่งมีชีวิต” ของเราไว้บนทรงกลม แทนที่จะวางไว้บนพื้นผิวปิดอีกพื้นผิวหนึ่ง แต่การเลือกนี้ มีเหตุผลสนับสนุนของมันในข้อเท็จจริงที่ว่า ในบรรดาพื้นผิวปิดทั้งปวง ทรงกลมมีลักษณะเฉพาะในการมีคุณสมบัติว่า จุดทั้งหมดที่อยู่บนมันมีความหมายเหมือนกัน ฉันยอมรับว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวง c ของวงกลมต่อรัศมี r ของมันขึ้นอยู่กับ r แต่สำหรับค่าที่กำหนดให้ของ r ของมันเหมือนกันสำหรับทุกจุดของ “โลก - ทรงกลม” พูดอีกอย่างหนึ่งก็คือ “โลก - ทรงกลม” เป็น “พื้นผิวที่มีความโค้งที่คงตัว”

กับเอกภพ - ทรงกลม สองมิตินี้มีข้อเปรียบเทียบเชิงสาม - มิติ กล่าวคือ อวกาศเชิงทรงกลมสาม - มิติ ซึ่งรีมันน์ค้นพบ จุดต่างๆ ของมันทั้งหมดมีความหมายเหมือนกันเช่นเดียวกัน มันมีปริมาตรที่มีขอบเขตจำกัด ซึ่งถูกกำหนดโดย “รัศมี” ของมัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะนึกภาพอวกาศเชิงทรงกลม? การนึกภาพอวกาศไม่ได้หมายถึงอะไรอื่น นอกจากว่าเรานึกภาพแบบจำลองย่อส่วนของประสบการณ์ “เชิงอวกาศ” ของเรา นั่นคือของประสบการณ์ที่เราอาจมีได้ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ “แข็งเกร็ง” ตามความหมายนี้เราอาจนึกภาพอวกาศเชิงทรงกลมได้

สมมติว่าเราเขียนเส้นหรือยืดเส้นเชือกให้ตรงไปในทุกทิศทางจากจุดๆ หนึ่ง และขีดเส้นจากระยะ r เหล่านี้ แต่ละระยะด้วยไม้วัด จุด - ปลายที่เป็นอิสระของความยาวเหล่านี้ทั้งหมดอยู่บนพื้นผิวเชิงทรงกลม เราอาจวัดขนาดพื้นที่ (F) ของพื้นผิวนี้เป็นพิเศษได้ โดยการใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบขึ้นด้วยไม้วัด ถ้าเอกภพเป็นระบบยุคลิด ดังนั้น : ถ้ามันเป็นเชิงทรงกลม ดังนั้น F น้อยกว่า เสมอ พร้อมกับค่าที่เพิ่มขึ้นของ r F เพิ่มขึ้นจากศูนย์จนถึงค่าสูงสุด ซึ่งถูกกำหนดโดย “โลก - รัศมี” แต่สำหรับค่าของ r ที่เพิ่มขึ้นมากขึ้นไปอีก พื้นที่ค่อยๆ ลดลงสู่ศูนย์ ตอนแรกเส้นตรงต่างๆ ซึ่งกระจายออกจากจุดเริ่มต้นแยกห่างกันมากขึ้นเรื่อยๆ จากกันและกัน แต่ต่อมามันเข้าใกล้กัน และในที่สุดมันไปด้วยกันอีกครั้งที่ “จุด - ตรงกันข้าม ”กับจุดเริ่มต้น ตามเงื่อนไขเช่นนั้นมันได้เดินทางข้ามอวกาศเชิงทรงกลมทั้งหมด เราจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่า อวกาศเชิง - ทรงกลมสาม - มิติ คล้ายกับพื้นผิวเชิงทรงกลมสอง - มิติ พอสมควร มันมีขอบเขตจำกัด (นั่นคือ มีปริมาตรที่มีขอบเขตจำกัด) และไม่มีขอบเขต

แต่อย่างไรก็ตามอาจจะพูดได้ว่ามีอวกาศโค้งอีกประเภทหนึ่ง : “อวกาศเชิงวงรี” มันอาจถูกมองว่าเป็นอวกาศโค้ง ซึ่ง “จุด - ตรงกันข้าม” สองจุดเหมือนกันทุกประการ (ไม่สามารถแยกความแตกต่างจากกันและกันได้) เราจึงอาจพิจารณาที่เอกภพเชิงวงรีว่าเป็นเอกภพโค้ง ที่มีสมมาตรเชิงจุดศูนย์กลาง เป็นบางส่วนแต่ไม่ใช่ทั้งหมดได้

สรุปจากสิ่งที่ได้พูดไปแล้วว่า อวกาศปิดที่ไม่มีขอบเขตพอจะนึกออกได้ จากในหมู่พวกนี้อวกาศเชิงทรงกลม (และเชิงวงรี) ดีกว่าในความเรียบง่ายของมัน เนื่องจากทุกจุดที่อยู่บนมันมีความหมายเหมือนกัน เนื่องจากการอภิปรายนี้ คำถามที่น่าสนใจอย่างที่สุดถือกำเนิดขึ้นสำหรับนักดาราศาสตร์และนักฟิสิกส์ และนั่นคือเอกภพซึ่งเราอาศัยอยู่ไม่มีขอบเขตหรือไม่ หรือมันมีขอบเขตจำกัดด้วยวิธีการของเอกภพเชิงทรงกลมใช่หรือไม่ ประสบการณ์ของเราไม่เพียงพอที่จะทำให้เราสามารถตอบคำถามนี้ได้ แต่ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปยอมรับการตอบของเราด้วยระดับขั้นของความแน่นอนพอประมาณ และในเรื่องนี้ ปัญหาที่ได้พูดถึงไปในตอนที่ 30 พบวิธีการ “แก้ปัญหา” ของมัน